题目
题型:不详难度:来源:
(1)若x∈[-2,-1],不等式f(x)≤f′(x)恒成立,求a的取值范围;
(2)解关于x的方程f(x)=|f′(x)|;
(3)设函数g(x)=,求g(x)在x∈[2,4]时的最小值.
答案
解析
又因为-2≤x≤-1,
所以a≥ max在x∈[-2,-1]时恒成立,因为=≤,
所以a≥.(4分)
(2)因为f(x)=|f′(x)|,所以x2+2ax+1=2|x+a|,
所以(x+a)2-2|x+a|+1-a2=0,则|x+a|=1+a或|x+a|=1-a.(7分)
①当a<-1时,|x+a|=1-a,所以x=-1或x=1-2a;
②当-1≤a≤1时,|x+a|=1-a或|x+a|=1+a,
所以x=±1或x=1-2a或x=-(1+2a);
③当a>1时,|x+a|=1+a,所以x=1或x=-(1+2a).(10分)
(3)因为f(x)-f′(x)=(x-1)[x-(1-2a)],g(x)=
①若a≥-,则x∈[2,4]时,f(x)≥f′(x),所以g(x)=f′(x)=2x+2a,
从而g(x)的最小值为g(2)=2a+4;(12分)
②若a<-,则x∈[2,4]时,f(x)<f′(x),所以g(x)=f(x)=x2+2ax+1,
当-2≤a<-时,g(x)的最小值为g(2)=4a+5,
当-4<a<-2时,g(x)的最小值为g(-a)=1-a2,
当a≤-4时,g(x)的最小值为g(4)=8a+17.(14分)
③若-≤a<-,则x∈[2,4]时,
g(x)=
当x∈[2,1-2a)时,g(x)最小值为g(2)=4a+5;
当x∈[1-2a,4]时,g(x)最小值为g(1-2a)=2-2a.
因为-≤a<-,(4a+5)-(2-2a)=6a+3<0,
所以g(x)最小值为4a+5,
综上所述,
[g(x)]min=(16分)
核心考点
试题【已知函数f(x)=x2+2ax+1(a∈R),f′(x)是f(x)的导函数.(1)若x∈[-2,-1],不等式f(x)≤f′(x)恒成立,求a的取值范围;(2)】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若对任意x∈[1,e],都有g(x)≥-x2+(a+2)x恒成立,求a的取值范围;
(2)设F(x)=若P是曲线y=F(x)上异于原点O的任意一点,在曲线y=F(x)上总存在另一点Q,使得△POQ中的∠POQ为钝角,且PQ的中点在y轴上,求a的取值范围.
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