题目
题型:不详难度:来源:
2a,f′(2)=-b,其中a,b∈R.
①求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;②设g(x)=f′(x)e-x,求g(x)的极值.
答案
解析
∵f′(1)=2a,f′(2)=-b,
∴3+2a+b=2a,12+4a+b=-b.∴a=-,b=-3.
∴f(x)=x3-x2-3x+1.从而f(1)=-.又f′(1)=2a=-3,
∴f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y+=-3(x-1),即6x+2y-1=0.
②g(x)=(3x2-3x-3)e-x,
∴g′(x)=(6x-3)e-x-
e-x(3x2-3x-3)=(-3x2+9x)e-x.
令g′(x)=0得x=0或x=3.
当x∈(-∞,0)时,g′(x)<0;
当x∈(0,3)时,g′(x)>0;
当x∈(3,+∞)时,g′(x)<0.
∴g(x)在(-∞,0)上是减函数,在(0,3)上是增函数,在(3,+∞)上是减函数.
当x=0时,g(x)取得极小值g(0)=-3;当x=3时,g(x)取得极大值g(3)=15e-3
核心考点
试题【设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f′(x)满足f′(1)=2a,f′(2)=-b,其中a,b∈R.①求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若f(x)在实数集R上单调递增,求a的取值范围;
(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减,若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由;
(3)证明f(x)=x3-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方.
A.(-2,2) | B.[-2,2] |
C.[2,+∞) | D.(-∞,-2] |
中t∈R.
①当t=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
②当t≠0时,求f(x)的单调区间.
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