题目
题型:不详难度:来源:
(1)若a≠b,求证:函数f(x)存在极大值和极小值;
(2)设(1)中f(x)取得极大值、极小值时自变量的值分别为x1,x2,设点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)).如果直线AB的斜率为-,求函数f(x)和f′(x)的公共递减区间的长度;
(3)若f(x)≥mxf′(x)对于一切x∈R恒成立,求实数m,a,b满足的条件.
答案
(3)m=,a=b≤0.
解析
f′(x)=(x-b)[3x-(2a+b)],
因为a≠b,所以b≠,
所以f′(x)=0有两个不等实根b和,
所以f(x)存在极大值和极小值.
(2)①当a=b时,f(x)不存在减区间;
②当a>b时,由(1)知x1=b,x2=,
所以A(b,0),B,
所以=-,
即4(a-b)3=9(a-b),
所以a-b=或a-b=-(舍去);
③当a<b时,x1=,x2=b.
同理可得a-b=-或a-b=(舍去).
综上,a>b且a-b=或a<b且a-b=-.
所以f(x)的减区间为,即(b,b+1)或f(x)的减区间为,即(b-1,b);
f′(x)的减区间为或.
所以公共减区间为或,长度均为.
(3)由题意f(x)≥mxf′(x),
所以(x-a)(x-b)2≥mx(x-b)[3x-(2a+b)],
所以(x-b){(1-3m)x2+[m(2a+b)-(a+b)]x+ab}≥0.
若m≠,则左边是一个一次因式乘一个恒正(或恒负)的二次三项式,或者是三个一次因式的积,无论哪种情况,总有一个一次因式的指数是奇次的,这个因式的零点左右的符号不同,因此不可能恒非负.
所以m=,
所以(x-b)[(a+2b)x-3ab]≤0.
若a+2b=0,则a=-2b,所以a=b=0;
若a+2b≠0,则x1=b,x2=,
所以
①若b=0,则a<0;
②若b≠0,则=1,所以a=b且b<0.
综上,m=,a=b≤0.
核心考点
试题【已知函数f(x)=(x-a)(x-b)2,a,b是常数.(1)若a≠b,求证:函数f(x)存在极大值和极小值;(2)设(1)中f(x)取得极大值、极小值时自变量】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)当时,求函数的极值;
(2)若对,有成立,求实数的取值范围.
(1)若点M的轨迹为曲线C,求其方程;
(2)过点的直线与曲线C交于不同两点E、F,N是曲线上不同于E、F的动点,求面积的最大值.
A. | B. | C. | D. |
(1)当时,求函数单调区间;
(2)若函数在区间[1,2]上的最小值为,求的值.
A.增函数 | B.在(0,π)上递增,在(π,2π)上递减 |
C.减函数 | D.在(0,π)上递减,在(0,2π)上递增 |
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