题目
题型:不详难度:来源:
若在上的最大值和最小值分别记为,求;
设若对恒成立,求的取值范围.
答案
解析
试题分析:(1)若在上的最大值和最小值分别记为,求,由函数得,求函数在闭区间最值,可用导数法,故求导得,由于,故需对进行讨论,分,,三种情况,利用单调性,分别求出最大值和最小值即可;(2)设若对恒成立,求的取值范围,可令,由,得,即在上的值域是集合的子集,即求在上的最大值和最小值,让最大值小于等于,最小值大于等于,即可求出的取值范围,结合(1)分,,,四种情况讨论即可.
(1)因为,所以,由于,
(ⅰ)当时,有,故,此时在上是增函数,因此,,
(ⅱ)当时,若,,在上是增函数,,若,,在上是减函数,所以,,由于,因此,当时,,当时,,
(ⅲ)当时,有,故,此时在上是减函数,因此,,故,综上;
(2)令,则,,因为,对恒成立,即对恒成立,所以由(I)知,
(ⅰ)当时,在上是增函数,在上的最大值是,最小值是,则,且,矛盾;
(ⅱ)当时,在上的最大值是,最小值是,所以,,从而且,令,则,在上是增函数,故,因此,
(ⅲ)当时,在上的最大值是,最小值是,所以,,解得,
(ⅳ)当时,在上的最大值是,最小值是,所以,,解得,综上的取值范围.
点评:本题主要考查函数最大(最小)值的概念,利用导数研究函数的单调性等基础知识,同时考查推理论证,分类讨论,分析问题和解决问题的综合解题能力.
核心考点
举一反三
(1)讨论在其定义域上的单调性;
(2)当时,求取得最大值和最小值时的的值.
A. | B. |
C. | D. |
A. | B. | C. | D. |
(1)求的单调区间和极值;
(2)若对于任意的,都存在,使得,求的取值范围
(1)求;
(2)证明:当时,恒有.
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