题目
题型:不详难度:来源:
定义:(1)设f""(x)是函数y=f(x)的导数y=f"(x)的导数,若方程f""(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”;
定义:(2)设x0为常数,若定义在R上的函数y=f(x)对于定义域内的一切实数x,都有f(x0+x)+f(x0-x)=2f(x0)成立,则函数y=f(x)的图象关于点(x0,f(x0))对称.
已知f(x)=x3-3x2+2x+2,请回答下列问题:
(1)求函数f(x)的“拐点”A的坐标
(2)检验函数f(x)的图象是否关于“拐点”A对称,对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论(不必证明)
(3)写出一个三次函数G(x),使得它的“拐点”是(-1,3)(不要过程)
答案
由f""(x)=0,即6x-6=0.∴x=1,又 f(1)=2,
∴f(x)=x3-3x2+2x+2的“拐点”坐标是(1,2).…(4分)
(2)由(1)知“拐点”坐标是(1,2).
f(1+x)+f(1-x)=(1+x)3-3(1+x)2+2(1+x)+2+(1-x)3-3(1-x)2+2(1-x)+2=2+6x2-6-6x2+4+4=4=2f(1),
由定义(2)知:f(x)=x3-3x2+2x+2关于点(1,2)对称.…(8分)
一般地,三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的“拐点”是(-
b |
3a |
b |
3a |
(或者:任何一个三次函数都有拐点;任何一个三次函数都有对称中心;任何一个三次函数平移后可以是奇函数…)都可以给分
(3)G(x)=a(x+1)3+b(x+1)+3(a≠0)或写出一个具体的函数,
如G(x)=x3+3x2+3x+4或G(x)=x3+3x2-x.…(12分)
核心考点
试题【对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0).定义:(1)设f""(x)是函数y=f(x)的导数y=f"(x)的导数,若方程f""(x)=0有实数解】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若f′(
1 |
3 |
(2)求证:当0≤x≤1时,|f"(x)|≤max{f"(0),f"(1)}.(注:max{a,b}表示a,b中的最大值)
(1)当x∈[0,
π |
2 |
(2)在直角坐标系中画出y=g(x)-1在[-
π |
2 |
π |
,2 |
(Ⅰ).若y=g(x)是R上的增函数,求证a=b=c;
(Ⅱ)在(Ⅰ).的条件下,求函数y=g(x)的“拐点”A的坐标,并证明函数y=g(x)的图象关于“拐点”A成中心对称.
A.-2cosx | B.2cosx | C.0 | D.-2sinx |
1 |
x |
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