题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ).若y=g(x)是R上的增函数,求证a=b=c;
(Ⅱ)在(Ⅰ).的条件下,求函数y=g(x)的“拐点”A的坐标,并证明函数y=g(x)的图象关于“拐点”A成中心对称.
答案
∴g"(x)=(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b)
=3x2-2(a+b+c)x+ab+bc+ac,
∵y=g(x)是R上的增函数,
∴g"(x)=3x2-2(a+b+c)x+ab+bc+ac≥0在R上恒成立
即4(a+b+c)2-12(ab+bc+ac)≤0
则2a2+2b2+2c2-2(ab+bc+ac)≤0即(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≤0
∴a=b=c;
(II)由(I)得y=g(x)=(x-a)3
g"(x)=3(x-a)2,g""(x)=6(x-a)=0
解得x=a
∴函数y=g(x)的“拐点”A的坐标为(a,0)
设函数y=g(x)图象上任意一点(x,y)则关于(a,0)的对称点为(2a-x,-y)
根据g(2a-x)=(a-x)3=-g(x)可知点(2a-x,-y)也在函数y=g(x)图象上
∴函数y=g(x)的图象关于“拐点”A(a,0)成中心对称.
核心考点
试题【对于一般的三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d,(a≠0)定义:设f""(x)是函数y=f(x)的导函数y=f"(x)的导数.若f""(x)=0有实数解x】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.-2cosx | B.2cosx | C.0 | D.-2sinx |
1 |
x |
A.0个 | B.恰好一个 | C.两个 | D.无数个 |
A.-
| B.
| C.-1 | D.1 |
A.af(b)≤bf(a) | B.bf(a)≤af(b) | C.af(a)≤f(b) | D.bf(b)≤f(a) |
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