题目
题型:贵州难度:来源:
(Ⅰ)证明数列{f{xn}}为等比数列;
(Ⅱ)记Sn是数列{xnf{xn}}的前n项和,求
lim |
n→∞ |
S1+S2+…+Sn |
n |
答案
由f"(x)=0,得-2e-xsinx=0.
解出x=nπ,n为整数,从而xn=nπ,n=1,2,3,f(xn)=(-1)ne-nπ.
f(xn+1) |
f(xn) |
所以数列{f{xn}}是公比q=-e-π的等比数列,且首项f(x1)=q.
(Ⅱ)Sn=x1f(x1)+x2f(x2)++xnf(xn)=πq(1+2q++nqn-1),
qSn=πq(q+2q2++nqn),
Sn-qSn=πq(1+2q2++qn-1-nqn)
=πq(
1-qn |
1-q |
从而
S1+S2++Sn |
n |
=
πq |
(1-q)2 |
πq2 |
n(1-q)2 |
πq2 |
n(1-q) |
=
πq |
(1-q)2 |
πq2 |
n(1-q)2 |
1-qn |
1-q |
πq2 |
n(1-q)2 |
1-qn |
1-q |
=
πq |
(1-q)2 |
2πq2 |
n(1-q)3 |
πqn+2 |
(1-q)2 |
因为|q|=e-π<1.
lim |
n→∞ |
所以
lim |
n→∞ |
S1+S2++Sn |
n |
πq |
(1-q)2 |
-πeπ |
(eπ+1)2 |
核心考点
试题【已知函数f(x)=e-x(cosx+sinx),将满足f"(x)=0的所有正数x从小到大排成数列{xn}.(Ⅰ)证明数列{f{xn}}为等比数列;(Ⅱ)记Sn是】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
π |
4 |
(I)证明数列{an+1}是等比数列;
(II)令f(x)=a1x+a2x2+…+anxn,求函数f(x)在点x=1处的导数f"(1)并比较2f"(1)与23n2-13n的大小.
(1)y=x2sinx;
(2)y=ln(x+
1+x2 |
(3)y=
ex+1 |
ex-1 |
(4)y=
x+cosx |
x+sinx |
(1)Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1(x≠0,n∈N*);
(2)Sn=Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn(n∈N*).
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