利用导数求和：（1）Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1（x≠0，n∈N*）；（2）Sn=Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn（n∈N*）． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

利用导数求和：
（1）S_n=1+2x+3x²+…+nx^n-1（x≠0，n∈N*）；
（2）S_n=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ（n∈N*）．

答案

（1）当x=1时，S_n=1+2+3+…+n=

（n+1），
当x≠1时，∵x+x²+x³++xⁿ=

x-xn+1

1-x

，
两边对x求导，得S_n=1+2x+3x²+…+nx^n-1=（

x-xn+1

1-x

）′=

1-(n+1)xn+nxn+1

(1-x)2

．
（2）∵（1+x）ⁿ=1+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ，
两边对x求导，得n（1+x）^n-1=C_n¹+2C_n²x+3C_n³x²+…+nC_nⁿx^n-1．
令x=1，得n•2^n-1=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ，
即S_n=C_n¹+2C_n²+3C_n³++nC_nⁿ=n•2^n-1．

核心考点

试题【利用导数求和：（1）Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1（x≠0，n∈N*）；（2）Sn=Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn（n∈N*）．】；主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]

举一反三

若f（x）=

x+1

-1

3	x+1

-1

在点x=0处连续，则f（0）=______．

题型：不详难度：| 查看答案

已知实系数二次函数f（x）=ax²+bx+c对任何-1≤x≤1，都有|f（x）|≤1．
（1）若f（x）=2x²-1，g′（x）=f（x），且g（0）=0，数列{a_n}满足a_n=g（a_n-1），问数列{a_n}能否构成等差数列，若能，请求出满足条件的所有等差数列；若不能，请说明理由；
（2）求|a|+|b|+|c|的最大值．

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设函数f（x）=（2x+5）⁶，则导函数f′（x）中的x³的系数是______．

题型：不详难度：| 查看答案

已知函数f(x)=x+

(t＞0)和点P（1，0），过点P作曲线y=f（x）的两条切线PM、PN，切点分别为M、N．
（Ⅰ）设|MN|=g（t），试求函数g（t）的表达式；
（Ⅱ）是否存在t，使得M、N与A（0，1）三点共线．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数n，在区间[2，n+

]内总存在m+1个实数a₁，a₂，…，a_m，a_m+1，使得不等式g（a₁）+g（a₂）+…+g（a_m）＜g（a_m+1）成立，求m的最大值．

题型：杭州二模难度：| 查看答案

若f（x）在R上可导，
（1）求f（-x）在x=a处的导数与f（x）在x=-a处的导数的关系；
（2）证明：若f（x）为偶函数，则f′（x）为奇函数．

题型：不详难度：| 查看答案

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