题目

题型：辽宁难度：来源：

设函数f（x）满足x2f′(x)+2xf(x)=

ex

x

，f（2）=

e2

8

，则x＞0时，f（x）（　　）

A．有极大值，无极小值	B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值	D．既无极大值也无极小值

答案

∵函数f（x）满足x2f′(x)+2xf(x)=

ex

x

，
∴[x2f(x)]′=

ex

x

∴x＞0时，x2f(x)=

∫

+∞0

ex

x

dx
∴f(x)=

∫ +∞0 ex x dx

x2

∴f′(x)=

ex-2 ∫ +∞0 ex x dx

x3

令g（x）=ex-2

∫

+∞0

ex

x

dx，则g′(x)=ex-

2ex

x

=ex(1-

2

x

)
令g′（x）=0，则x=2，∴x∈（0，2）时，g′（x）＜0，函数单调递减，x∈（2，+∞）时，g′（x）＞0，函数单调递增
∴g（x）在x=2时取得最小值
∵f（2）=

e2

8

，∴g（2）=e2-2×4×

e2

8

=0
∴g（x）≥g（2）=0
∴f′(x)=

ex-2 ∫ +∞0 ex x dx

x3

≥0
即x＞0时，f（x）单调递增
∴f（x）既无极大值也无极小值
故选D．