题目

题型：不详难度：来源：

已知函数．
（1）试判断函数的单调性；
（2）设，求在上的最大值；
（3）试证明：对，不等式恒成立．

答案

（1）函数在上单调递增，在上单调递减；
（2）当时,＝；
当时，＝；
当时，.
(3)证明略.

解析

（１）∵，令得
∴，∵当时，当时
∴函数在上单调递增，在上单调递减，∴当时函数有最大值；
（２）由（１）知函数在上单调递增，在上单调递减
故①当即时，在上单调递增，∴＝.
②当时，在上单调递减，∴＝
③当，即时，
（３）由（1）知当时，
∴在上恒有，即且仅当时“＝”成立
∴对任意的恒有
∵且∴
即对，不等式恒成立．