题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分16分）设实数a为正数，函数.(Ⅰ)当时,求曲线在处的切线方程; (Ⅱ)当时,求函数的最小值.

答案

(Ⅰ)   (Ⅱ)   

解析

（1）当时，
令 得所以切点为（1，2），切线的斜率为1，
所以曲线在处的切线方程为：。…4分
（2）①当时，， 
，恒成立。在上增函数。故当时，
② 当时，，
（）…………8分
（i）当即时，在时为正数，所以在区间上为增函数。故当时，，且此时
(ii)当，即时，在时为负数，在间 时为正数。所以在区间上为减函数，在上为增函数
故当时，，且此时…………10分
(iii)当；即时，在时为负数，所以在区间[1,e]上为减函数，故当时，。
综上所述，当时，在时和时的最小值都是………12分
所以此时的最小值为；当时，在时的最小值为
，而，所以此时的最小值为。
当时，在时最小值为，在时的最小值为
而，所以此时的最小值为
所以函数的最小值为…………16分