题目

题型：不详难度：来源：

已知函数在处有极小值，
（1）试求的值，并求出的单调区间．
（2）若关于的方程有3个不同实根，求实数a的取值范围.

答案

根据函数在某点处有极值的概念，可以知道在处导数为零。并且求解得到a,b的值，然后利用导数的正负号来解不等式，得到单调增减区间。第二问中，方程根的问题，可以通过分离参数的思想，来得到常函数与已知曲线有3个不同的交点问题来处理。
解：（1）函数f（x）=x³-3ax²+2bx的导数为f′（x）=3x²-6ax+2b
∵函数f（x）=x³-3ax²+2bx在x=1处有极小值-1，∴f′（1）=0，f（1）=-1
即3-6a+2b=0，1-3a+2b=-1，解得a=1/3，b=-1/2
∴f（x）=x³-x²-x，f′（x）=3x²-2x-1
令f′（x）=0，即3x²-2x-1=0，解得，x=-1/3，或x=1
又∵当x＞1时，f′（x）＞0，当-1/3＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＜-1/3时，f′（x）＞0，
∴函数在x=-13时有极大值为f（-1/3）=5/27
函数在x=1时有极小值为f（1）=-1
(3)要的方程有3个不同实根，则需满足

解析

略