题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求函数的单调递增区间;
(Ⅱ)设点为函数的图象上任意一点,若曲线在点处的切线的斜率恒大于,
求的取值范围.
答案
解析
试题分析:(Ⅰ)先求出函数的定义域为,再对函数求导得.对分, ,,四种情况进行讨论,求得每种情况下使得的的取值范围,求得的的取值集合即是函数的单调增区间;(Ⅱ)将代入函数的导数得,根据化简整理构造新函数,将问题转化为:的恒成立问题,分,,三种情况结合二次函数的单调性进行讨论.
试题解析:(Ⅰ)依题意,的定义域为,
. 2分
①当时,
令,解得,所以函数在上是增函数;
②当时,
令,解得或,所以函数在和上是增函数;
③当时,
在上恒成立,所以函数在是增函数;
④当时,
令,解得或,所以函数在和上是增函数. 6分
综上所述,
①当时,函数的单调递增区间是;
②当时,函数的单调递增区间是和;
③当时,函数的单调递增区间是;
④当时,函数的单调递增区间是和. 7分
(Ⅱ)因为函数在点处的切线的斜率大于,
所以当时,恒成立.
即当时,恒成立.
设,函数的对称轴方程为.10分
(ⅰ)当时,在时恒成立.
(ⅱ) 当时,即时,在时,函数成立,则方程 的判别式
,解得.
(ⅲ)当时,即时,在上为增函数,的取值范围是,则在
时,函数不恒成立. 13分
综上所述,时,在函数的图象上任意一点处的切线的斜率恒大于. 14分
核心考点
举一反三
(1)当时,求f(x)的单调区间;
(2)求f(x)的零点个数
(1)试求函数的单调区间和极值;
(2)若 直线与曲线相交于不同两点,若 试证明.
(1)求的值;
(2)若存在使不等式成立,求实数的取值范围;
(3)对于函数与公共定义域内的任意实数,我们把的值称为两函数在处的偏差,求证:函数与在其公共定义域内的所有偏差都大于2
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