题目

题型：不详难度：来源：

已知函数.
（1）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围；
（2）设，若函数存在两个零点，且实数满足，问：函数在处的切线能否平行于轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由.

答案

（1）；（2）在处的切线不能平行于轴．

解析

试题分析：（1）函数在定义域内为增函数，则其导数恒大于等于0.求导得：
.由得：.要恒成立，只需即可.接下来利用重要不等式可求出的最小值.
由题意，知恒成立，即．
（2）本题属探索性问题.对探索性问题，常用的方法是假设成立，然后利用题设试着去求相关的量.若能求出来，则成立；若无解，则不成立.
在本题中，总的方向如下：首先假设在的切线平行于轴，则是的极值点，故有.又函数存在两个零点，所以，再加上，这样有4个方程（4个未知数).接下来就试着求.若能求出，则切线能平行于轴（同时也就求出了该切线方程）；若不能求出，则切线不能平行于轴.
试题解析：（1）
由题意，知恒成立，即．
又，当且仅当时等号成立．
故，所以． 
（2）将求导得：.
存在两个零点，所以.
设在的切线平行于轴，则.
结合题意，有，
①—②得
所以由④得
所以          ……………………………………⑤
设，⑤式变为
设，

所以函数在上单调递增，
因此，，即
也就是，，此式与⑤矛盾．所以在处的切线不能平行于轴.