题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若函数上是减函数,求实数a的最小值;
(Ⅲ)若,使()成立,求实数a的取值范围.
答案
解析
试题分析:(1)先求,解不等式并和定义域求交集,得的单调递增区间;解不等式并和定义域求交集,得的单调递减区间;(2)等价于在时恒成立,即,故,得实数a的取值范围;(3)由特称量词的含义知,在区间内存在两个独立变量,使得已知不等式成立,等价于的最小值小于等于的最大值,分别求两个函数的最小值和最大值,建立实数的不等式,进而求的范围.
试题解析:由已知函数的定义域均为,且.
(Ⅰ)函数,当且时,;当时,.
所以函数的单调减区间是,增区间是.
(Ⅱ)因f(x)在上为减函数,故在上恒成立.
所以当时,.又,故当,即时,.所以于是,故a的最小值为.
(Ⅲ)命题“若使成立”等价于“当时,
有”.
由(Ⅱ),当时,,. 问题等价于:“当时,有”.
当时,由(Ⅱ),在上为减函数,则=,故.
当0<时,由于在上为增函数,故的值域为,即.由的单调性和值域知,唯一,使,且满足:当时,,为减函数;当时,,为增函数;所以,=,.所以,,与矛盾,不合题意.综上,得.
核心考点
举一反三
⑴若,求在上的最大值和最小值;
⑵若对任意,都有,求的取值范围;
⑶若在上的最大值为,求的值。
(Ⅰ)时,求在处的切线方程;
(Ⅱ)若对任意的恒成立,求实数的取值范围;
(Ⅲ)当时,设函数,若,求证:.
A. | B. | C. | D. |
(Ⅰ)求在处的切线方程;
(Ⅱ)求的单调区间;
(Ⅲ)若,求证:.
(1)设(其中是的导函数),求的最大值;
(2)求证: 当时,有;
(3)设,当时,不等式恒成立,求的最大值.
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