题目
题型:不详难度:来源:
(1)若恒成立,求实数的值;
(2)若方程有一根为,方程的根为,是否存在实数,使?若存在,求出所有满足条件的值;若不存在,说明理由.
答案
解析
试题分析:本题主要考查导数的计算以及运用导数研究函数的单调性、极值、最值问题,考查学生的函数思想、分类讨论思想,考查综合分析和解决问题的能力和计算能力.第一问,注意到函数的定义域中,所以先将原恒成立的不等式进行转化,设出新函数,只需证出即可,所以转化为求函数的最小值问题,对求导,讨论的正负,判断函数的单调性和最值;第二问,结合第一问的结论,判断出当或或时不合题意,当时,先求出的解,假设存在成立,得到的值,代入到中,判断有没有可能为0,设出新函数,只需判断的最小值的正负,对求导,并进行二次求导,判断函数的单调性,判断出,所以不合题意,所以不存在满足条件的实数.
试题解析:⑴解:注意到函数的定义域为,
所以恒成立恒成立,
设,
则, 2分
当时,对恒成立,所以是上的增函数,
注意到,所以时,不合题意. 4分
当时,若,;若,.
所以是上的减函数,是上的增函数,
故只需. 6分
令,
,
当时,; 当时,.
所以是上的增函数,是上的减函数.
故当且仅当时等号成立.
所以当且仅当时,成立,即为所求. 8分
⑵解:由⑴知当或时,,即仅有唯一解,不合题意;
当时, 是上的增函数,对,有,
所以没有大于的根,不合题意. 8分
当时,由解得,若存在,
则,即,
令,,
令,当时,总有,
所以是上的增函数,即,
故,在上是增函数,
所以,即在无解.
综上可知,不存在满足条件的实数. 12分
核心考点
试题【(本小题满分12分)已知函数,.(1)若恒成立,求实数的值;(2)若方程有一根为,方程的根为,是否存在实数,使?若存在,求出所有满足条件的值;若不存在,说明理由】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若,求函数的单调区间;
(2)是否存在实数,使函数在上是单调增函数?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。恒成立,则,又,
(1)试探究函数的零点个数;
(2)若的图象与轴交于两点,中点为,设函数的导函数为, 求证:。
A., |
B., |
C., |
D.,。 |
(1)当时,求函数的单调增区间;
(2)求函数在区间上的最小值;
(3)在(1)的条件下,设=+,
求证: (),参考数据:。(13分)
(1)当时,求函数在上的最大值;
(2)令,若在区间上不单调,求的取值范围;
(3)当时,函数的图象与轴交于两点,且,又是的导函数.若正常数满足条件.证明:.
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