题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)若,试判断函数在区间上的单调性;
(Ⅱ)若函数有两个极值点,(),求k的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试证明.
答案
解析
试题分析:(Ⅰ)将代入求导,根据其符号即可得其单调性;(Ⅱ)函数有两个极值点,,则,是的两个根,即方程有两个根.接下来就研究函数图象特征,结合图象便可知取何值时,方程有两个根.
(Ⅲ)结合图象可知,函数的两个极值点,满足.
,这里面有两个变量,那么能否换掉一个呢?
由,得,利用这个关系式便可将换掉而只留:
,这样根据的范围,便可得,从而使问题得证.
试题解析:(Ⅰ)若,,则,
当时,,
故函数在区间上是单调递减函数. 4分
(Ⅱ)函数有两个极值点,,则,是的两个根,
即方程有两个根,设,则,
当时,,函数单调递增且;
当时,,函数单调递增且;
当时,,函数单调递减且.
要使有两个根,只需,
故实数k的取值范围是. 9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)的解法可知,函数的两个极值点,满足, 10分
由,得,
所以,
由于,故,
所以. 14分
核心考点
试题【已知函数(其中,e是自然对数的底数).(Ⅰ)若,试判断函数在区间上的单调性;(Ⅱ)若函数有两个极值点,(),求k的取值范围;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试证明.】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求函数的单调区间
(Ⅱ)若以函数图象上任意一点为切点的切线的斜率恒成立,求实数的最小值
(Ⅲ)是否存在实数,使得函数的图象与函数的图象恰有四个不同交点?若存在,求出实数的取值范围;若不存在,说明理由。
(Ⅰ)若函数是区间上的增函数,求实数的取值范围;
(Ⅱ)若在时恒成立,求实数的取值范围.
(Ⅰ)当时,求的极值;
(Ⅱ)当a>0时,讨论的单调性;
(Ⅲ)若对任意的a∈(2,3),x1,x2∈[1,3],恒有成立,求实数m的取值范围。
(I)用a分别表示b和c;
(II)当bc取得最大值时,写出的解析式;
(III)在(II)的条件下,g(x)满足,求g(x)的最大值及相应x值.
(I)讨论的单调性;
(Ⅱ)若在(1,+)恒成立,求实数a的取值范围.
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