设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为________． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

设直线x＝t与函数f(x)＝x²，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为________．

答案

解析

如图：|MN|＝f(t)－g(t)＝t²－lnt(t>0)，

令h(t)＝t²－lnt(t>0)，
则h′(t)＝2t－

＝

，
令h′(t)>0，得t>

，
令h′(t)<0，得0<t<

，
∴h(t)在(0，

)上单调递减，在(

，＋∞)上单调递增．
∴当t＝

时，h(t)取最小值，即t＝

时，|MN|取最小值．

核心考点

试题【设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为________．】；主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知函数f(x)＝1＋x－

＋

－

＋…＋

，则下列结论正确的是(　　)

A．f(x)在(0,1)上恰有一个零点

B．f(x)在(0,1)上恰有两个零点

C．f(x)在(－1,0)上恰有一个零点

D．f(x)在(－1,0)上恰有两个零点

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已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＋xf′(x)>0(其中f′(x)是f(x)的导函数)，设a＝(

4)f(

4)，b＝

)，c＝(lg

)f(lg

)，则a，b，c由大到小的关系是________．

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已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝ln x－ax

，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于________．

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电动自行车的耗电量y与速度x之间有关系y＝

x³－

x²－40x(x>0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．

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设f(x)是定义在区间(1，＋∞)上的函数，其导函数为f′(x)．如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的x∈(1，＋∞)都有h(x)＞0，使得f′(x)＝h(x)(x²－ax＋1)，则称函数f(x)具有性质P(a)．
(1)设函数f(x)＝ln x＋

(x＞1)，其中b为实数．
①求证：函数f(x)具有性质P(b)；
②求函数f(x)的单调区间；
(2)已知函数g(x)具有性质P(2)．给定x₁，x₂∈(1，＋∞)，x₁＜x₂，设m为实数，α＝mx₁＋(1－m)x₂，β＝(1－m)x₁＋mx₂，且α＞1，β＞1，若|g(α)－g(β)|＜|g(x₁)－g(x₂)|，求m的取值范围．

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