题目

题型：不详难度：来源：

设f(x)是定义在区间(1，＋∞)上的函数，其导函数为f′(x)．如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的x∈(1，＋∞)都有h(x)＞0，使得f′(x)＝h(x)(x²－ax＋1)，则称函数f(x)具有性质P(a)．
(1)设函数f(x)＝ln x＋ (x＞1)，其中b为实数．
①求证：函数f(x)具有性质P(b)；
②求函数f(x)的单调区间；
(2)已知函数g(x)具有性质P(2)．给定x₁，x₂∈(1，＋∞)，x₁＜x₂，设m为实数，α＝mx₁＋(1－m)x₂，β＝(1－m)x₁＋mx₂，且α＞1，β＞1，若|g(α)－g(β)|＜|g(x₁)－g(x₂)|，求m的取值范围．

答案

（1）当b≤2时，函数f(x)的单调增区间为(1，＋∞)；
当b＞2时，函数f(x)的单调减区间为(1，)，单调增区间为(，＋∞)．
（2）(0,1)

解析

解：(1)由f(x)＝ln x＋，得f′(x)＝.
①证明：因为x＞1时，h(x)＝＞0，所以函数f(x)具有性质P(b)．
②当b≤2时，由x＞1得x²－bx＋1≥x²－2x＋1＝(x－1)²＞0，
所以f′(x)＞0.从而函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．
当b＞2时，令x²－bx＋1＝0得
x₁＝，x₂＝.
因为x₁＝＝＜＜1，
x₂＝＞1，
所以当x∈(1，x₂)时，f′(x)＜0；当x∈(x₂，＋∞)时，f′(x)＞0；当x＝x₂时，f′(x)＝0.从而函数f(x)在区间(1，x₂)上单调递减，在区间(x₂，＋∞)上单调递增．
综上所述，当b≤2时，函数f(x)的单调增区间为(1，＋∞)；
当b＞2时，函数f(x)的单调减区间为(1，)，单调增区间为(，＋∞)．
(2)由题设知，g(x)的导函数
g′(x)＝h(x)(x²－2x＋1)，
其中函数h(x)＞0对于任意的x∈(1，＋∞)都成立，
所以当x＞1时，g′(x)＝h(x)(x－1)²＞0，
从而g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．
①当m∈(0,1)时，
有α＝mx₁＋(1－m)x₂＞mx₁＋(1－m)x₁＝x₁，
α＜mx₂＋(1－m)x₂＝x₂，即α∈(x₁，x₂)，
同理可得β∈(x₁，x₂)．
所以由g(x)的单调性知g(α)，g(β)∈(g(x₁)，g(x₂))，从而有|g(α)－g(β)|＜|g(x₁)－g(x₂)|，符合题意．
②当m≤0时，α＝mx₁＋(1－m)x₂≥mx₂＋(1－m)x₂＝x₂，β＝(1－m)x₁＋mx₂≤(1－m)x₁＋mx₁＝x₁，于是由α＞1，β＞1及g(x)的单调性知g(β)≤g(x₁)＜g(x₂)≤g(α)，
所以|g(α)－g(β)|≥|g(x₁)－g(x₂)|，与题意不符．
③当m≥1时，同理可得α≤x₁，β≥x₂，
进而得|g(α)－g(β)|≥|g(x₁)－g(x₂)|，与题意不符．
综上所述，所求的m的取值范围为(0,1)．