已知函数f(x)＝1＋x－＋－＋…＋，则下列结论正确的是(　　)A．f(x)在(0,1)上恰有一个零点B．f(x)在(0,1)上恰有两个零点C．f(x)在(－1 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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已知函数f(x)＝1＋x－

＋

－

＋…＋

，则下列结论正确的是(　　)

A．f(x)在(0,1)上恰有一个零点

B．f(x)在(0,1)上恰有两个零点

C．f(x)在(－1,0)上恰有一个零点

D．f(x)在(－1,0)上恰有两个零点

答案

解析

函数的导数为f′(x)＝1－x＋x²－…＋x²⁰¹²＝

＝

.当x∈(0,1)时，f′(x)>0，此时函数单调递增．当x∈(－1,0)时，f′(x)>0，此时函数单调递增．因为f(0)＝1>0，所以函数在(0,1)上没有零点．又f(－1)＝1－1－

－

－…－

<0，所以函数在(－1，0)上有且只有一个零点，所以选C.

核心考点

试题【已知函数f(x)＝1＋x－＋－＋…＋，则下列结论正确的是(　　)A．f(x)在(0,1)上恰有一个零点B．f(x)在(0,1)上恰有两个零点C．f(x)在(－1】；主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＋xf′(x)>0(其中f′(x)是f(x)的导函数)，设a＝(

4)f(

4)，b＝

)，c＝(lg

)f(lg

)，则a，b，c由大到小的关系是________．

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已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝ln x－ax

，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于________．

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电动自行车的耗电量y与速度x之间有关系y＝

x³－

x²－40x(x>0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．

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设f(x)是定义在区间(1，＋∞)上的函数，其导函数为f′(x)．如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的x∈(1，＋∞)都有h(x)＞0，使得f′(x)＝h(x)(x²－ax＋1)，则称函数f(x)具有性质P(a)．
(1)设函数f(x)＝ln x＋

(x＞1)，其中b为实数．
①求证：函数f(x)具有性质P(b)；
②求函数f(x)的单调区间；
(2)已知函数g(x)具有性质P(2)．给定x₁，x₂∈(1，＋∞)，x₁＜x₂，设m为实数，α＝mx₁＋(1－m)x₂，β＝(1－m)x₁＋mx₂，且α＞1，β＞1，若|g(α)－g(β)|＜|g(x₁)－g(x₂)|，求m的取值范围．

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记函数f_n(x)＝a·xⁿ－1(a∈R，n∈N^*)的导函数为f′_n(x)，已知f′₃(2)＝12.
(1)求a的值；
(2)设函数g_n(x)＝f_n(x)－n²ln x，试问：是否存在正整数n使得函数g_n(x)有且只有一个零点？若存在，请求出所有n的值；若不存在，请说明理由；
(3)若实数x₀和m(m>0且m≠1)满足

＝

，试比较x₀与m的大小，并加以证明．

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