已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＋xf′(x)>0(其中f′(x)是f(x)的导函数)，设a＝(4)f(4)，b＝f - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＋xf′(x)>0(其中f′(x)是f(x)的导函数)，设a＝(

4)f(

4)，b＝

)，c＝(lg

)f(lg

)，则a，b，c由大到小的关系是________．

答案

a>b>c

解析

令函数F(x)＝xf(x)，则函数F(x)＝xf(x)为偶函数．当x>0时，F′(x)＝f(x)＋xf′(x)>0，此时函数F(x)单调递增．则a＝F(

4)＝F(－log₂4)＝F(－2)＝F(2)，b＝F(

)，c＝F(lg

)＝F(－lg5)＝F(lg5)，因为0<lg5<1<

<2，所以a>b>c.

核心考点

试题【已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＋xf′(x)>0(其中f′(x)是f(x)的导函数)，设a＝(4)f(4)，b＝f】；主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝ln x－ax

，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于________．

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电动自行车的耗电量y与速度x之间有关系y＝

x³－

x²－40x(x>0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．

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设f(x)是定义在区间(1，＋∞)上的函数，其导函数为f′(x)．如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的x∈(1，＋∞)都有h(x)＞0，使得f′(x)＝h(x)(x²－ax＋1)，则称函数f(x)具有性质P(a)．
(1)设函数f(x)＝ln x＋

(x＞1)，其中b为实数．
①求证：函数f(x)具有性质P(b)；
②求函数f(x)的单调区间；
(2)已知函数g(x)具有性质P(2)．给定x₁，x₂∈(1，＋∞)，x₁＜x₂，设m为实数，α＝mx₁＋(1－m)x₂，β＝(1－m)x₁＋mx₂，且α＞1，β＞1，若|g(α)－g(β)|＜|g(x₁)－g(x₂)|，求m的取值范围．

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记函数f_n(x)＝a·xⁿ－1(a∈R，n∈N^*)的导函数为f′_n(x)，已知f′₃(2)＝12.
(1)求a的值；
(2)设函数g_n(x)＝f_n(x)－n²ln x，试问：是否存在正整数n使得函数g_n(x)有且只有一个零点？若存在，请求出所有n的值；若不存在，请说明理由；
(3)若实数x₀和m(m>0且m≠1)满足

＝

，试比较x₀与m的大小，并加以证明．

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已知f(x)是定义在集合M上的函数．若区间D⊆M，且对任意x₀∈D，均有f(x₀)∈D，则称函数f(x)在区间D上封闭．
(1)判断f(x)＝x－1在区间[－2,1]上是否封闭，并说明理由；
(2)若函数g(x)＝

在区间[3,10]上封闭，求实数a的取值范围；
(3)若函数h(x)＝x³－3x在区间[a，b](a，b∈Z，且a≠b)上封闭，求a，b的值．

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