题目
题型:不详难度:来源:
(1)求;
(2)证明:当时,曲线与直线只有一个交点.
答案
解析
试题分析:(1),由导数的几何意义得,故切线方程为,将点代入求;(2)曲线与直线只有一个交点转化为函数有且只有零点.一般思路往往利用导数求函数的单调区间和极值点,从而判断函数大致图象,再说明与轴只有一个交点.本题首先入手点为,当时,,且,,所以在有唯一实根.只需说明当时无根即可,因为,故只需说明,进而转化为求函数的最小值问题处理.
(1),.曲线在点处的切线方程为.由题设得,,所以.
(2)由(1)得,.设.由题设得.当时,,单调递增,,,所以在有唯一实根.当时,令,则.,在单调递减;在单调递增.所以.所以在没有实根,综上,在上有唯一实根,即曲线与直线只有一个交点.
核心考点
举一反三
,
(1)求的表达式;
(2)若恒成立,求实数的取值范围;
(3)设,比较与的大小,并加以证明.
(1)求的值;
(2)证明:对任意,等式都成立.
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