题目
题型:不详难度:来源:
,
(1)求的表达式;
(2)若恒成立,求实数的取值范围;
(3)设,比较与的大小,并加以证明.
答案
解析
试题分析:(1)易得,且有,当且仅当时取等号,当时,,当时,由,得,所以数列是以为首项,以1为公差的等差数列,继而得,经检验,所以;
在范围内恒成立,等价于成立,令 ,即成立,,令,得,分和两种情况讨论,分别求出的最小值,继而求出的取值范围;
(3)由题设知:,,比较结果为:,证明如下:上述不等式等价于
在(2)中取,可得,令,则,即,使用累加法即可证明结论.
试题解析:,,
(1)
,,,,即,当且仅当时取等号
当时,
当时
,,即
数列是以为首项,以1为公差的等差数列
当时,
(2)在范围内恒成立,等价于成立
令,即恒成立,
令,即,得
当即时,在上单调递增
所以当时,在上恒成立;
当即时,在上单调递增,在上单调递减,
所以
设
因为,所以,即,所以函数在上单调递减
所以,即
所以不恒成立
综上所述,实数的取值范围为
(3)由题设知:,
比较结果为:
证明如下:
上述不等式等价于
在(2)中取,可得
令,则,即
故有
上述各式相加可得:
结论得证.
核心考点
举一反三
(1)求的值;
(2)证明:对任意,等式都成立.
已知函数(为常数)的图像与轴交于点,曲线在点处的切线斜率为.
(1)求的值及函数的极值;
(2)证明:当时,
(3)证明:对任意给定的正数,总存在,使得当时,恒有
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