题目

题型：期末题难度：来源：

已知函数f（x）=ax³-x²+1（x∈R），其中a＞0，
（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若在区间上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围。

答案

解：（1）当a=1时，，f（2）=3；
f′(x)=，f′(2)=6，
所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9。
（2）f′(x)=，
令f′(x)=0，解得x=0或x=，
以下分两种情况讨论：
（1）若0＜a≤2，则，当x变化时，f′(x)，f（x）的变化情况如下表：

当 时，f（x）＞0等价于，即，
解不等式组得-5＜a＜5；因此0＜a≤2。
（2）若a＞2，则，当x变化时，f′(x)，f（x）的变化情况如下表：

当时，f（x）＞0等价于即，
解不等式组得或，因此2＜a＜5；
综合（1）和（2），可知a的取值范围为0＜a＜5。