题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)若无极值点,但其导函数有零点,求的值;
(Ⅱ)若有两个极值点,求的取值范围,并证明的极小值小于.
答案
解析
试题分析:(Ⅰ)首先, ,有零点而无极值点,表明该零点左右同号,故,且的由此可得
(Ⅱ)由题意,有两不同的正根,故.
解得: ,设的两根为,不妨设,因为在区间上,,而在区间上,,故是的极小值点.因在区间上是减函数,如能证明则更有由韦达定理,,
令其中设 ,利用导数容易证明当时单调递减,而,因此,即的极小值
(Ⅱ)另证:实际上,我们可以用反代的方式证明的极值均小于.
由于两个极值点是方程的两个正根,所以反过来,
(用表示的关系式与此相同),这样
即,再证明该式小于是容易的(注意,下略).
点评:对于函数与导数这一综合问题的命制,一般以有理函数与半超越(指数、对数)函数的组合复合且含有参量的函数为背景载体,解题时要注意对数式对函数定义域的隐蔽,这类问题重点考查函数单调性、导数运算、不等式方程的求解等基本知识,注重数学思想的运用
核心考点
举一反三
A.4x-y=0 | B.4x-y-4=0 | C.2x-y-2=0 | D.4x-y=0或4x-y-4=0 |
A. | B. | C. | D. |
(1)求、b的值;
(2)若对于任意的,都有成立,求c的取值范围.
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