题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)=x³-x²+x+b,其中a,b∈R.
(1)若曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为y=5x-4,求函数f(x)的解析式.
(2)当a>0时,讨论函数f(x)的单调性.

答案

(1) f(x)=x³-2x²+x+4
(2) 当0<a<1时,>1,函数f(x)在区间(-∞,1)及(,+∞)上为增函数,在区间(1,)上为减函数;
当a=1时,=1,函数f(x)在区间(-∞,+∞)上为增函数;
当a>1时,<1,函数f(x)在区间(-∞,)及(1,+∞)上为增函数,在区间(,1)上为减函数.

解析

(1)f"(x)=ax²-(a+1)x+1.
由导数的几何意义得f"(2)=5,于是a=3.
由切点P(2,f(2))在直线y=5x-4上可知2+b=6,解得b=4.
所以函数f(x)的解析式为f(x)=x³-2x²+x+4.
(2)f"(x)=ax²-(a+1)x+1=a(x-)(x-1).
当0<a<1时,>1,函数f(x)在区间(-∞,1)及(,+∞)上为增函数,在区间(1,)上为减函数;
当a=1时,=1,函数f(x)在区间(-∞,+∞)上为增函数;
当a>1时,<1,函数f(x)在区间(-∞,)及(1,+∞)上为增函数,在区间(,1)上为减函数.