题目

题型：湖南难度：来源：

在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM₁M₂M₃N与路径MN₁N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（-10，0），C（14，0）处．现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心．
（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；
（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．

答案

设点P的坐标为（x，y），则
（I）点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x-3|+|y-20|，y∈[0，+∞）；
（II）由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“L路径”长度最小值之和（记为d）的最小值
①当y≥1时，d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|
∵d₁（x）=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+|x-14|≥24
∴当且仅当x=3时，d₁（x）=|x+10|+|x-14|+|x-3|的最小值为24
∵d₂（y）=2|y|+|y-20|≥21
∴当且仅当y=1时，d₂（y）=2|y|+|y-20|的最小值为21
∴点P的坐标为（3，1）时，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小，且最小值为45；
②当0≤y≤1时，由于“L路径”不能进入保护区，∴d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|
此时d₁（x）=|x+10|+|x-14|+|x-3|，d₂（y）=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y≥21
由①知d₁（x）=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥24，∴d₁（x）+d₂（y）≥45，当且仅当x=3，y=1时等号成立
综上所述，在点P（3，1）处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小．