题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)=sin2x+asinx+

a2+b-1

a

．
（Ⅰ）设a＞0，b=

5

3

，求证：f(

π

6

)≥

9

4

（Ⅱ）若b=-2，f（x）的最大值大于6，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设a≥2，若存在x∈R，使得f（x）≤0，求a²+b²-8a的最小值．

答案

（Ⅰ）∵a＞0，b=

5

3

∴f(

π

6

)=sin2

π

6

+asin

π

6

+

a2+ 5 3 -1

a

=

3a

2

+

2

3a

+

1

4

≥2

3a 2 * 2 3a

+

1

4

=

9

4

即f(

π

6

)≥

9

4

（Ⅱ）∵b=-2，∴f(x)=sin2x+asinx+a-

3

a

，设t=sinx，令g(t)=t2+at+a-

3

a

=(t+

a

2

)2-

a2

4

+a-

3

a

(-1≤t≤1)
当-

a

2

＜0时，h(a)=g(1)；当-

a

2

＞0时，h(a)=g(-1)；

h(a)=

1+2a- 3 a (a＞0) 1- 3 a (a＜0)

解得a的取值范围是(-

3

5

，0)∪(3，+∞)
（Ⅲ）设t=sinx，令ϕ(t)=t2+at+a+

b-1

a

，
∴φ(t)的图象的对称轴t=-

a

2

≤-1，
设t=sinx，令φ（t）=t2+at+a+

b-1

a

=(t+

a

2

)2-

a2

4

+a+

b-1

a

(-1≤t≤1)
∵a≥2
∴b≤1-a≤-1