题目

题型：不详难度：来源：

△ABC满足

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°，设M是△ABC内的一点（不在边界上），定义f（M）=（x，y，z），其中x，y，z分别表示△MBC，△MCA，△MAB的面积，若f（M）=（x，y，

1

2

），则

1

x

+

4

y

的最小值为（　　）

A．9

B．8

C．18

D．16

答案

∵

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°，
所以由向量的数量积公式得|

AB

|  •|

AC

| •cos∠BAC=2

3

，
∴|

AB

||

AC

|=4，
∵S△ABC=

1

2

|

AB

| •|

AC

|•sin∠BAC=1，
由题意得，
x+y=1-

1

2

=

1

2

．

1

x

+

4

y

=2(

1

x

+

4

y

)(x+y)=2（5+

y

x

+

4x

y

≥2(5+2

y x • 4x y

)=18，等号在x=

1

6

，y=

1

3

取到，所以最小值为18．
故选C．