题目
题型:广东难度:来源:
对于平面xOy上给定的不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),
(1)若点C(x,y)是平面xOy上的点,试证明ρ(A,C)+ρ(C,B)≥ρ(A,B);
(2)在平面xOy上是否存在点C(x,y),同时满足
①ρ(A,C)+ρ(C,B)=ρ(A,B)②ρ(A,C)=ρ(C,B)若存在,请求出所有符合条件的点,请予以证明.
答案
ρ(A,C)+ρ(C,B)=|x-x1|+|x2-x|+|y-y1|+|y2-y
≥|(x-x1)+(x2-x)|+|(y-y1)+(y2-y)|
=|x2-x1|+|y2-y1|
=ρ(A,B)
当且仅当(x-x1)•(x2-x)≥0,且(y-y1)•(y2-y)≥0时等号成立.
(2)由ρ(A,C)+ρ(C,B)=ρ(A,B)得
(x-x1)•(x2-x)≥0且(y-y1)•(y2-y)≥0 (Ⅰ)
由ρ(A,C)=ρ(C,B)得|x-x1|+|y-y1|=|x2-x|+|y2-y|(Ⅱ)
因为A(x1,y1),B(x2,y2)是不同的两点,则:1°若x1=x2且y1≠y2,
不妨设y1<y2,由(Ⅰ)得x=x1=x2,且y1≤y≤y2,
由(Ⅱ)得y=
y1+y2 |
2 |
此时,点C是线段AB的中点,即只有点C(
x1+x2 |
2 |
y1+y2 |
2 |
2°若x1≠x2且y1=y2,
同理可得:只有AB的中点C(
x1+x2 |
2 |
y1+y2 |
2 |
3°若x1≠x2且y1≠y2,不妨设x1<x2且y1<y2,
由(Ⅰ)得x1≤x≤x2且y1≤y≤y2,
由(Ⅱ)得x+y=
x1+x2 |
2 |
y1+y2 |
2 |
此时,所有符合条件的点C的轨迹是一条线段,即:过AB的中点(
x1+x2 |
2 |
y1+y2 |
2 |
斜率为-1的直线x+y=
x1+x2 |
2 |
y1+y2 |
2 |
其中A(x1,y1),A1(x2,y1),B(x2,y2),B1(x1,y2).
核心考点
试题【设A(x1,y1),B(x2,y2)是平面直角坐标系xOy上的两点,现定义由点A到点B的一种折线距离ρ(A,B)为ρ(A,B)=|x2-x1|+|y2-y1|对】;主要考察你对不等式的概念与性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.ac>bc | B.ac2>bc2 | C.2a>2b | D.a2>b2 |
(I)若1,a1,a3成等比数列,求a1;
(II)若S5>a1a9,求a1的取值范围.
π |
2 |
A.
| B.
| C.ab>b2 | D.a2>ab |
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