知x>0,y>0,x+2y+xy=30,求xy的取值范围. - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

知x>0,y>0,x+2y+xy=30,求xy的取值范围.

答案

(0,18]

解析

因为x>0,y>0,所以30=x+2y+xy
≥2

+xy=2

+xy,
所以(

)²+2

-30≤0,
所以(

-3

)(

)≤0,
所以0<

≤3

,即0<xy≤18,
当且仅当x=2y,即x=6,y=3时等号成立.
所以xy的取值范围为(0,18].
【一题多解】本题还可用消元的方法:
因为x+2y+xy=30,所以y=

,
所以xy=x·

=-x+32-

=-(x+2)-

+34,
又因为x>0,
所以(x+2)+

≥2

=16,
当且仅当x+2=

,即x=6时,等号成立,
所以xy≤-16+34=18,
当且仅当x=6,y=3时等号成立.
所以xy的取值范围是(0,18].

核心考点

试题【知x>0,y>0,x+2y+xy=30,求xy的取值范围.】；主要考察你对不等式的概念与性质等知识点的理解。[详细]

举一反三

解不等式|x-1|+|x-2|>5.

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已知a>0,b>0且a²+

=1,求a

的最大值.

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已知a,b为正数,求证:

≥

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在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”.如图所示的路径MM₁M₂M₃N与路径MN₁N都是M到N的“L路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy内三点A(3,20),B(-10,0),C(14,0)处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心.

(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明).
(2)若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P的位置,使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小.

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已知函数f(x)=ax²+4(a为非零实数),设函数F(x)=

(1)若f(-2)=0,求F(x)的表达式.
(2)在(1)的条件下,解不等式1≤|F(x)|≤2.
(3)设mn<0,m+n>0,试判断F(m)+F(n)能否大于0?

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