题目

题型：天津模拟题难度：来源：

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=a_n+1（n∈N*），
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）求数列{n²a_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）若存在n∈N*，使得a_n≥（n+1）λ成立，求实数λ的取值范围。

答案

解：（Ⅰ）因为，
所以，
两式相减得，
所以，
因此数列{na_n}从第二项起，是以2为首项，以3为公比的等比数列，
所以，
故；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当n≥2时，，
当n≥2时，，
∴，
两式相减得，
又∵T₁=a₁=1也满足上式，
所以；
（Ⅲ）a_n≥（n+1）λ等价于，
由（Ⅰ）可知当n≥2时，，
设（n≥2，n∈N⁺），
则f（n+1）-f（n）=，
∴，
又，
∴所求实数λ的取值范围为。