题目

题型：江苏期末题难度：来源：

设数列{a_n}的前n项和为S_n=2n²，{b_n}为等比数列，且a₁=b₁，b₂（a₂﹣a₁）=b₁．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=，求数列{c_n}的前n项和T_n．

答案

解：（1）：当n=1时，a₁=S₁=2；
当n≥2时，a_n=S_n﹣S _n﹣1=2n²﹣2（n﹣1）²=4n﹣2，
故{a_n}的通项公式为a_n=4n﹣2，
即{a_n}是a₁=2，公差d=4的等差数列．
设{b_n}的通项公式为q，则b₁qd=b₁，d=4，
∴q=．
故b_n=b₁q ^n﹣1=2×，
即{b_n}的通项公式为b_n=．
（2）∵c_n===（2n﹣1）4 ^n﹣1，
T_n=c₁+c₂+…+c_nT_n=1+3×4¹+5×4²+…+（2n﹣1）×4 ^n﹣1
4T_n=1×4+3×4²+5×4³+…+（2n﹣3）×4 ^n﹣1+（2n﹣1）×4ⁿ
两式相减得，3T_n=﹣1﹣2（4¹+4²+4³+…+4 ^n﹣1）+（2n﹣1）4ⁿ=[（6n﹣1）4ⁿ+5]
∴T_n=[（6n﹣5）4ⁿ+5]