题目

题型：期末题难度：来源：

在数列{a_n} 中，a₁=1，a_n+1=1﹣，b_n=，其中n∈N⁺，
（Ⅰ）求证：数列{b_n} 是等差数列，并求数列{a_n} 的通项公式a_n；
（Ⅱ）设c_n=a_n，数列{C_nC_n+1} 的前n项和为T_n，是否存在正整整m，使得T_n＜对于n∈
N⁺恒成立，若存在，求出m的最大值，若不存在，说明理由．

答案

 （1）证明：∵a₁=1，a_n+1=1﹣，b_n=，
∴b_n+1﹣b_n=
=
=﹣=2（n∈N*）
∴数列{b_n}是等差数列，
∵a₁=1，∴b₁==2，
∴b_n=2+（n﹣1）×2=2n，
由b_n=，得2a_n﹣1==，（n∈N*）
∴a_n=．
（2）∵c_n=a_n==，
∴C_nC_n+1==，
∴T=c₁c₂+c₂c₃+…+c_nc_n+1=（1﹣）+（）+（）+…+（）=1﹣＜1，
∵T_n=1﹣＜对于n∈N⁺恒成立，
∴，
∴m≤2，所以m的最大值为2．