题目

题型：月考题难度：来源：

已知数列{}中，（t＞0且t≠1）．若是函数的一个极值点．
（Ⅰ）证明数列{₊₁﹣}是等比数列，并求数列{}的通项公式；
（Ⅱ）记，当t=2时，数列{b_n}的前n项和为，求使＞2008的n的最小值；
（Ⅲ）当t=2时，求证：对于任意的正整数n，有 ．

答案

解：（Ⅰ）．
由题意，即，
∴₊₁﹣=t（﹣_﹣1）（n≥2），
∵t＞0且t≠1，
∴数列{₊₁﹣}是以t²﹣t为首项，t为公比的等比数列，
∴₊₁﹣=（t²﹣t）t^n﹣1=（t﹣1）tⁿ
∴a₂﹣a₁=（t﹣1）t
a₃﹣a₂=（t﹣1）t²
…
﹣_﹣1=（t﹣1）t^n﹣1
以上各式两边分别相加得，
∴，
当n=1时，上式也成立，
∴
（Ⅱ）当t=2时，
∴=2n﹣（1+++…+）=．
由＞2008，得，，
当n≤1004时，n+＜1005，
当n≥1005时，n+＞1005，
因此n的最小值为1005．
（Ⅲ）∵
∴=
=