题目

题型：聊城一模难度：来源：

过点P（1，0）作曲线C：y=x^k（x∈（0，+∞），k∈N^*，k＞1）的切线，切点为M₁，设M₁在x轴上的投影是点P₁；又过点P₁作曲线C的切线，切点为M₂，设M₂在x轴上的投影是点P₂；…；依此下去，得到一系列点M₁，M₂，…M_n，…；设它们的横坐标a₁，a₂，…，
a_n…构成数列为{a_n}．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：an≥1+

n

k-1

；
（Ⅲ）当k=2时，令bn=

n

an

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

答案

（Ⅰ）对y=x^k求导数，
得y′=kx^k-1，
点是M_n（a_n，a_n^k）的切线方程是y-a_n^k=ka_n^k-1（x-a_n）．…（2分）
当n=1时，切线过点P（1，0），
即0-a₁^k=ka₁^k-1（1-a₁），
得a1=

k

k-1

；
当n＞1时，切线过点P_n-1（a_n-1，0），
即0-a_n^k=ka_n^k-1（a_n-1-a_n），
得

an

an-1

=

k

k-1

．
所以数列{a_n}是首项a1=

k

k-1

，公比为

k

k-1

的等比数列，
所以数列{a_n}的通项公式为an=(

k

k-1

)n，n∈N*．…（4分）
（ II）应用二项式定理，得an=(

k

k-1

)n=(1+

1

k-1

)n=

C

0n

+

C

1n

1

k-1

+

C

2n

(

1

k-1

)2+…+

C

nn

(

1

k-1

)n≥1+

n

k-1

．…（8分）
（ III）当k=2时，a_n=2ⁿ，
数列{b_n}的前n项和S_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，
同乘以

1

2

，得

1

2

Sn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，
两式相减，…（10分）
得

1

2

Sn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
所以S_n=2-

n+2

2n

．…（12分）