题目
题型:不详难度:来源:
n |
n-1 |
(I)求a2,a3的值及数列{an}的通项公式;
(II)令bn=
3n-1 |
an |
(III)令cn=
an+1 |
n+1 |
2cn |
(cn-1)2 |
答案
2 |
2-1 |
当n=3时,a3=
3 |
3-1 |
因为an=
n |
n-1 |
an |
n |
an-1 |
n-1 |
当n≥2时,由累加法得
an |
n |
a1 |
1 |
因为a1=1,所以n≥2时,有
an |
n |
2(1-3n-1) |
1-3 |
又n=1时,a1=1•31-1=1,
故an=n•3n-1(n∈N*).
(II)n∈N*时,bn=
3n-1 |
an |
1 |
n |
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
2n |
记函数f(n)=S2n-n=(1+
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
2n |
所以f(n+1)=(1+
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
2n+1 |
则f(n+1)-f(n)=(
1 |
2n+1 |
1 |
2n+2 |
1 |
2n+1 |
2n |
2n+1 |
所以f(n+1)<f(n).
由于f(1)=S21-1=(1+
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
4 |
此时S22>2;f(3)=S23-3=(1+
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
4 |
1 |
5 |
1 |
6 |
1 |
7 |
1 |
8 |
由于f(n+1)<f(n),故n≥3时,f(n)≤f(3)<0,此时S2n<n.
综上所述,当n=1,2时,S2n>n;当n≥3(n∈N*)时,S2n<n.
(III)证明:对于cn=
an+1 |
n+1 |
2cn |
(cn-1)2 |
2×3n |
(3n-1)2 |
当n≥2时,
2×3n |
(3n-1)2 |
2×3n |
(3n-1)(3n-3) |
2×3n-1 |
(3n-1)(3n-1-1) |
1 |
3n-1-1 |
1 |
3n-1 |
所以当n≥2时,Tn=
3 |
2 |
2×32 |
(32-1)2 |
2×3n |
(3n-1)2 |
3 |
2 |
1 |
2 |
1 |
32-1 |
1 |
32-1 |
1 |
33-1 |
1 |
3n-1-1 |
1 |
3n-1 |
1 |
3n-1 |
且T1=
3 |
2 |
故对n∈N*,Tn<2得证.
核心考点
试题【已知数列{an}中,a1=1,且an=nn-1an-1+2n•3n-2(n≥2,n∈N*).(I)求a2,a3的值及数列{an}的通项公式;(II)令bn=3n】;主要考察你对数列综合等知识点的理解。[详细]
举一反三
1 |
2 |
1 |
3 |
2 |
3 |
1 |
4 |
2 |
4 |
3 |
4 |
1 |
5 |
2 |
5 |
3 |
5 |
4 |
5 |
1 |
anan+1 |
A.4(1-
| B.4(
| C.1-
| D.
|
1 |
1+2 |
1 |
1+2+3 |
1 |
1+2+3+4 |
1 |
1+2+3+…+n |
A.0 | B.1 | C.2 | D.-2 |
(I)求b的值;
(II)若a+1,b+1,c+4成等比数列;
(i)求a,c的值;
(ii)若a,b,c为等差数列{an}的前三项,求数列{an•xn-1}(x≠0)的前n项和.
5 |
6 |
(1)求数列{an}的通项an;
(2)求{an}的前n项和Sn.
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