题目

题型：不详难度：来源：

数列{a_n}的前n项和S_n=n²+n，设数列{b_n}，bn=2an．
（1）求数列{b_n}的前n项和T_n；
（2）求R_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n．

答案

（1）∵n=1时，a₁=S₁=2，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-（n-1）²-（n-1）=2n，
∴a_n=2n，∴b_n=2²ⁿ=4ⁿ，
T_n=b₁+b₂+…+b_n=4¹+4²+…+4ⁿ
=

4(1-4n)

1-4

=

4

3

(4n-1)．
（2）R_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=2×4¹+4×4²+…+2n×4ⁿ…①
两边同乘以4得：4R_n=2×4²+4×4³+…+2n×4ⁿ⁺¹…②
①-②得：-3R_n=2×4¹+2×4²+2×4³+…+2×4ⁿ-2n×4ⁿ⁺¹
=2×

4(1-4n)

1-4

-2n×4ⁿ⁺¹=（

8

3

-8n）4ⁿ-

8

3

，
∴R_n=（

8

3

n-

8

9

）4ⁿ+

8

9

．