题目

题型：不详难度：来源：

已知数列{a_n}的前n项和为s_n，满足S_n=2a_n-2n（n∈N₊），
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若数列b_n满足b_n=log₂（a_n+2），T_n为数列{

bn

an+2

}的前n项和，求T_n
（3）（只理科作）接（2）中的T_n，求证：T_n≥

1

2

．

答案

（1）当n∈N₊时，S_n=2a_n-2n，
则当n≥2，n∈N₊时，S_n-1=2a_n-1-2（n-1）
         ①-②，a_n=2a_n-2a_n-1-2，a_n=2a_n-1+2
∴a_n+2=2（a_n-1+2），
∴

an+2

an-1+2

=2，n=1时   S₁=2a₁-2，∴a₁=2
∴{a_n+2}是a₁+2=4为首项2为公比的等比数列，
∴a_n+2=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∴a_n=2ⁿ⁺¹-2
（2）证明b_n=log₂（a_n+2）=log₂2ⁿ⁺¹=n+1．
∴

bn

an+2

=

n+

2n+1

，
则Tn=

2

22

+

3

23

 +…+

n+1

2n+1

，
∴

1

2

Tn=

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

+

n+1

2n+2

④
③-④，

1

2

Tn=

2

22

+

1

23

+

1

24

…+

1

2n+1

-

n+1

2n+2

=

1

4

+

1 4 (1- 1 2n )

1- 1 2

- 

n+1

2n+1

=

1

4

+

1

2

-

1

2n+1

- 

n+1

2n+2

=

3

4

-

n+3

2n+2

∴Tn=

3

2

-

n+3

2n+1

．
（3）n≥2时Tn-Tn-1=-

n+3

2n+1

+

n+2

2n

=

n+1

2n+1

＞0，
∴{T_n}为递增数列
∴Tn的最小值是T1=

1

2

∴Tn≥

1

2