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题目
题型:龙泉驿区模拟难度:来源:
已知函数f(x)=
ax+b
cx2+1
(a,b,c为常数,a≠0).
(Ⅰ)若c=0时,数列an满足条件:点(n,an)在函数f(x)=
ax+b
cx2+1
的图象上,求an的前n项和Sn
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若a3=7,S4=24,p,q∈N*(p≠q),证明:Sp+q
1
2
(S2p+S2q)

(Ⅲ)若c=1时,f(x)是奇函数,f(1)=1,数列xn满足x1=
1
2
,xn+1=f(xn),求证:
(x1-x2)2
x1x2
+
(x2-x3)2
x2x3
+…+
(xn-xn+1)2
xnxn+1
5
16
答案
(Ⅰ)依条件有f(x)=ax+b.
因为点(n,an)在函数f(x)=ax+b的图象上,所以an=f(n)=an+b.
因为an+1-an=a(n+1)+b-(an+b)=a,
所以an是首项是a1=a+b,公差为d=a的等差数列.(1分)
所以Sn=n(a+b)+
n(n-1)
2
•a
=nb+
n(n+1)
2
•a

即数列an的前n项和Sn=nb+
n(n+1)
2
•a
.(2分)
(Ⅱ)证明:依条件有





(a+b)+2a=7
4(a+b)+
4×3
2
•a=24





3a+b=7
10a+4b=24
解得





a=2
b=1

所以an=2n+1.
所以Sn=
n(a1+an)
2
=n2+2n
.(3分)
因为2Sp+q-(S2p+S2q)=2[(p+q)2+2(p+q)]-(4p2+4p)-(4q2+4q)=-2(p-q)2
又p≠q,所以2Sp+q-(S2p+S2q)<0.
Sp+q
1
2
(S2p+S2q)
.(5分)
(Ⅲ)依条件f(x)=
ax+b
x2+1

因为f(x)为奇函数,所以f(-x)+f(x)=0.
ax+b
x2+1
+
-ax+b
x2+1
=0
.解得b=0.所以f(x)=
ax
x2+1

又f(1)=1,所以a=2.
f(x)=
2x
x2+1
.(6分)
因为xn+1=f(xn),所以xn+1=
2xn
x2n
+1
.所以x1=
1
2
>0
时,有xn+1>0(n∈N*).
xn+1=f(xn)=
2xn
x2n
+1
2xn
2xn
=1

若xn+1=1,则xn=1.从而x1=1.这与x1=
1
2
矛盾.
所以0<xn+1<1.(8分)
所以xk+1-xk=xk(1-xk)•
1+xk
xk2+1
1
4
1
xk+1+
2
xk+1
-2
1
4
1
2


2
-2
=


2
+1
8

所以
(xk-xk+1)2
xkxk+1
=
xk+1-xk
xkxk+1
(xk+1-xk)<


2
+1
8
(
1
xk
-
1
xk+1
)
.(10分)
所以
(x1-x2)2
x1x2
+
(x2-x3)2
x2x3
++
(xn+1-xn)2
xnxn+1


2
+1
8
[(
1
x1
-
1
x2
)+(
1
x2
-
1
x3
)++(
1
xn
-
1
xn+1
)]
=


2
+1
8
(
1
x1
-
1
xn+1
)=


2
+1
8
(2-
1
xn+1
)
.(12分)
因为x1=
1
2
,xn+1>xn,所以
1
2
xn+1<1
.所以1<
1
xn+1
<2

所以
(x1-x2)2
x1x2
+
(x2-x3)2
x2x3
++
(xn-xn+1)2
xnxn+1


2
+1
8
(2-1)<
3
2
+1
8
=
5
16
.(14分)
核心考点
试题【已知函数f(x)=ax+bcx2+1(a,b,c为常数,a≠0).(Ⅰ)若c=0时,数列an满足条件:点(n,an)在函数f(x)=ax+bcx2+1的图象上,】;主要考察你对数列综合等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知数列{an}满足a1=22,an+1-an=2n,则数列{an}的通项公式为______,
an
n
的最小值为______.
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数列1,1+2,1+2+2,1+2+22+23,…,1+2+22+…+2n-1,…的前n项和是Sn,那么S9的值是______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知数列{an}的前n项之和Sn=n2-4n,求数列{|an|}的前n项和Tn
题型:不详难度:| 查看答案
已知a1=9,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中n∈N*,设bn=lg(1+an).
(Ⅰ) 证明数列{bn}是等比数列;
(Ⅱ) 设cn=nbn,求数列{cn}的前n项和Sn
(Ⅲ) 设dn=
1
an
+
1
an+2
,求数列{dn}的前n项和Dn
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已知数列{an}满足an=
5an-1-2
an-1-5
(n≥2,n∈N*)
,且{an}前2014项的和为403,则数列{an•an+1}的前2014项的和为(  )
A.-4B.-2C.2D.4
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