题目

题型：不详难度：来源：

函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=

1

2

．
（1）求f(

1

2

)和f(

1

n

)+f(

n-1

n

)(n∈N)的值；
（2）数列{a_n}满足an=f(0)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f(1)，求数列{a_n}的通项公式．
（3）令b_n=

4

4an-1

，Tn=

b

21

+

b

22

+

b

23

+…+

b

2n

，Sn=32-

16

n

试比较T_n与S_n的大小．

答案

（1）令x=

1

2

，得f(

1

2

) =

1

4

，
令x=

1

n

得f(

1

n

)+f(1-

1

n

)=

1

2

=f(

1

n

)+f(

n-1

n

)
（2）an=f(0)+f(

1

n

)++f(

n-1

n

)+f(1)
又an=f(1)+f(

n-1

n

)++f(

1

n

)+f(0)，
两式相加2an=[f(0)+f(1)]+[f(

1

n

)+f(

n-1

n

)]++[f(1)+f(0)]
=

n+1

2

，∴an=

n+1

4

．
（3）bn=

4

4an-1

=

4

n

Tn=

b

21

+

b

22

++

b

2n

=16(1+

1

22

+

1

32

++

1

n2

）
＜16[1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n-1)

]
=16[1+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)++(

1

n-1

-

1

n

)]
=16(2-

1

n

)=32-

16

n

=Sn
∴T_n≤S_n