题目

题型：四川省高考真题难度：来源：

已知数列{a_n}满足a₁=0，a₂=2，且对任意m，n∈N*都有a_2m-1+a_2n-1=2a_m+n-1+2(m-n)²，
(Ⅰ)求a₃，a₅；
(Ⅱ)设b_n=a_2n+1-a_2n-1（n∈N*），证明：{b_n}是等差数列；
(Ⅲ)设c_n=(a_n+1-a_n)q^n-1(q≠0，n∈N*)，求数列{c_n}的前n项和S_n。

答案

解：(Ⅰ)由题意，令m=2，n=1可得a₃=2a₂-a₁+2=6，
再令m=3，n=1可得a₅=2a₃-a₁+8=20.
(Ⅱ)当n∈N*时，由已知(以n+2代替m)可得a_2n+3+a_2n-1=2a_2n+1+8，
于是，即=8，
所以，数列{b_n}是公差为8的等差数列．
(Ⅲ)由(Ⅰ)、(Ⅱ)的解答可知{b_n}是首项b₁=a₃-a₁=6，公差为8的等差数列，
则b_n=8n-2，即a_2n+1-a_2n-1=8n-2，
另由已知(令m=1)可得，，
那么，，
于是，c_n=2nq^n-1，
当q=1时，S_n=2+4+6+…+2n=n(n+1)；
当q≠1时，S_n=2·q⁰+4·q¹+6·q²+…+2n·q^n-1，
两边同乘q可得qS_n=2·q¹+4·q²+6·q³+…+2(n-1)·q^n-1+2n·qⁿ，
上述两式相减即得

，
所以，
综上所述，。