题目

题型：江苏高考真题难度：来源：

设M为部分正整数组成的集合，数列{a_n}的首项a₁=1，前n项的和为S_n，已知对任意的整数k∈M，当整数n＞k时，S_n+k+S_n-k=2(S_n+S_k)都成立，
(1)设M={1}，a₂=2，求a₅的值；
(2)设M={3，4}，求数列{a_n}的通项公式．

答案

解：(1)由题设知，当n≥2时，，
即，
从而2a₁=2，
又a₂=2，
故当n≥2时，a_n=a₂+2(n-2)=2n-2，
所以a₅的值为8．
(2)由题设知，当k∈M={3，4}且n＞k时，，
且，
两式相减得，即，
所以当n≥8时，成等差数列，且也成等差数列．
从而当n≥8时，， (*)
且，
所以当n≥8时，，即，
于是当n≥9时，成等差数列，
从而，
故由(*)式知，
即，
当n≥9时，设，
当2≤n≤8时，n+6≥8，从而由(*)式知，
故，
从而，
于是，
因此，对任意n≥2都成立，
又由可知，
故9d=2S₃且16d=2S₄，解得，从而，
因此，数列{a_n}为等差数列．
由a₁=1知d=2，
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1．