题目

题型：上海模拟题难度：来源：

将数列{a_n}中的所有项按第一行排三项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
记表中的第一列数a₁，a₄，a₈，…构成的数列为{b_n}，已知：
（1）在数列{b_n}中，b₁=1，对于任何n∈N*，都有（n+1）b_n+1-nb_n=0；
（2）表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为q（q＞0）的等比数列；
（3），请解答以下问题：
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求上表中第k（k∈N*）行所有项的和S（k）；
（Ⅲ）若关于x的不等式在上有解，求正整数k的取值范围。

答案

解：（Ⅰ）由（n+1）b_n+1-nb_n=0，得{nb_n}为常数列，
故nb_n=1·b₁=1，
所以；
（Ⅱ）因为3+4+5+…+11=63，
所以表中第一行至第九行共含有数列{a_n}的前63项，
a₆₆在表中第十行第三列，故a₆₆=b₁₀·q²，
而，
∴q=2，
故S（k）=。
（Ⅲ）函数在上是减函数，
故f（x）的最小值为，
若关于x的不等式在上有解，
设m（k）=，
则必须，
m（k+1）-m（k）=，
m（1）=m（2）=8，
函数m（k）在k＞2的自然数集上单调递增，
而，m（8）=128，
所以k的取值范围是大于7的一切正整数。