题目

题型：北京期末题难度：来源：

已知数列{a_n}，{b_n}满足b_n=a_n+1-a_n，其中n=1，2，3，…
（Ⅰ）若a₁=1，b_n=n，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2，
（ⅰ）记c_n=a_6n-1（n≥1），求证：数列{c_n}为等差数列；
（ⅱ）若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项a₁应满足的条件。

答案

解：（Ⅰ）当n≥2时，
有

，
又因为也满足上式，
所以数列{a_n}的通项为；
（Ⅱ）（ⅰ）因为对任意的n∈N*有，
所以
，
所以数列{c_n}为等差数列；
（ⅱ）设（其中i为常数且i∈），
所以，
所以数列均为以7为公差的等差数列，
设，
（其中n=6k+i（k≥0），i为中的一个常数），
当时，对任意的n=6k+i有；
当时，

，
①若，则对任意的k∈N有，所以数列为单调减数列；
②若，则对任意的k∈N有，所以数列为单调增数列；
综上：设集合，
当时，数列中必有某数重复出现无数次；
当时，均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次。