已知数列{an}中，a1=1，a n+1=2an+1，（n∈N*）．（1）求证：数列{an+1}是等比数列；（2）求数列{an}的前n项和． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：北京期中题难度：来源：

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+1，（n∈N*）．
（1）求证：数列{a_n+1}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和．

答案

解：（1）∵a_n+1=2a_n+1，（n∈N*），
∴a _n+1+1=2（a_n+1），
∴

=2，
∴数列{a_n+1}是以2为公比的等比数列，
（2）由（1）知，数列{a_n+1}是等比数列，且q=2，首项为a₁+1=2，
∴a_n+1=2

2^n﹣1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ﹣1，
∴数列{a_n}的前n项和S_n=（2+2²+…+2ⁿ）﹣n=

﹣n=2 ⁿ⁺¹﹣n﹣2．

核心考点

试题【已知数列{an}中，a1=1，a n+1=2an+1，（n∈N*）．（1）求证：数列{an+1}是等比数列；（2）求数列{an}的前n项和．】；主要考察你对等比数列等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知数列{a_n}为等比数列，a₁=a₂+36，a₃=a₄+4，求a₅以及a_n．

题型：北京期中题难度：| 查看答案

已知等比数列{a_n}中，a₁=2，a₄=16．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设等差数列{b_n}中，b₂=a₂，b₉=a₅，求数列{b_n}的前n项和S_n．

题型：江西省期中题难度：| 查看答案

成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b_n}中的b₃、b₄、b₅．
（I）求数列{b_n}的通项公式；
（II）数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：数列{S_n+

}是等比数列．

题型：江苏月考题难度：| 查看答案

设{a_n}和{b_n}均为无穷数列．
（1）若{a_n}和{b_n}均为等比数列，试研究：{a_n+b_n}和{a_nb_n}是否是等比数列？请证明你的结论；若是等比数列，请写出其前n项和公式．
（2）请类比（1），针对等差数列提出相应的真命题（不必证明），并写出相应的等差数列的前n项和公式（用首项与公差表示）．

题型：山东省期末题难度：| 查看答案

设等比数列{a_n}的公比q＜1，前n项和为S_n．已知a₃=2，S₄=5S₂，则{a_n}的通项公式为（）。

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