题目

题型：山东省期末题难度：来源：

设{a_n}和{b_n}均为无穷数列．
（1）若{a_n}和{b_n}均为等比数列，试研究：{a_n+b_n}和{a_nb_n}是否是等比数列？请证明你的结论；若是等比数列，请写出其前n项和公式．
（2）请类比（1），针对等差数列提出相应的真命题（不必证明），并写出相应的等差数列的前n项和公式（用首项与公差表示）．

答案

解：（1）①设c_n=a_n+b_n，则
﹣（+）（+）
=a₁b₁（q₁﹣q₂）²
当q₁=q₂时，对任意的n∈N，n≥2，=c _n+1 c _n﹣1恒成立，
故{a_n+b_n}为等比数列；       
 ∴Sn=
当q₁≠q₂时，对任意的n∈N，n≥2，≠c _n+1 c _n﹣1，{a_n+b_n}不是等比数列．
②设d_n=a_nb_n，对于任意n∈N*，，{a_nb_n}是等比数列．
S_n=  
（2）设{a_n}，{b_n}均为等差数列，公差分别为d₁，d₂，则：
①{a_n+b_n}为等差数列；S_n=（a₁+b₁）n+（d₁+d₂）
②当d₁与d₂至少有一个为0时，{a_nb_n}是等差数列，
若d₁=0，S_n=a₁b₁n+a₁d₂；
若d₂=0，S_n=a₁b₁n+b₁d₁．
③当d₁与d₂都不为0时，{a_nb_n}一定不是等差数列．