题目

题型：湖北省期中题难度：来源：

设数列{a_n}满足a₁=t，a₂=t²，前n项和为S_n，且S_n+2-（t+1）S_n+1+tS_n=0（n∈N*）。
（1）证明数列{a_n}为等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）当＜t＜2时，比较2ⁿ+2^-n与tⁿ+t^-n的大小；
（3）若＜t＜2，bn=，求证：。

答案

解：（1）证明：由S_n-2-（t+1）S_n+1+tS_n=0，
得tS_n+1-tS_n=S_n+2-S_n+1，即a_n+2=ta_n+1，而a₁=t，a₂=t²，
∴数列{a_n}是以t为首项，t为公比的等比数列，
∴a_n=tⁿ；
（2）∵（tⁿ+t-ⁿ）-（2ⁿ+2-ⁿ）=（tⁿ-2ⁿ）[1-（）ⁿ]，又＜t＜2，
∴＜1，则tⁿ-2ⁿ＜0且1-（）ⁿ>0，
∴（tⁿ-2ⁿ）[1-（）ⁿ]＜0，
∴tⁿ+t-ⁿ＜2ⁿ+2-ⁿ；
（3）证明：∵，
∴2
，
∴。