题目

题型：不详难度：来源：

已知数列{a_n}的首项a₁=t＞0，an+1=

3an

2an+1

，n=1，2，…
（1）若t=

3

5

，求证{

1

an

-1}是等比数列并求出{a_n}的通项公式；
（2）若a_n+1＞a_n对一切n∈N^*都成立，求t的取值范围．

答案

（1）证明：由题意知a_n＞0，
∵an+1=

3an

2an+1

，∴

1

an+1

=

2an+1

3an

，∴

1

an

=

1

3an

+

2

3

，
∴

1

an+1

-1=

1

3

(

1

an

-1)，
∵

1

a1

-1=

2

3

（4分）
∴数列{

1

an

-1}是首项为

2

3

，公比为

1

3

的等比数列；（5分）
∴

1

an

-1=(

5

3

-1)(

1

3

)n-1=

2

3n

，∴an=

3n

3n+2

（8分）
（2）由（1）知

1

an+1

-1=

1

3

(

1

an

-1)，
∴

1

an

-1=(

1

t

-1)(

1

3

)n-1（10分）
由a1＞0，an+1=

3an

2an+1

知a_n＞0，故a_n+1＞a_n得

1

an+1

＜

1

an

（11分）
即(

1

t

-1)(

1

3

)n+1＜(

1

t

-1)(

1

3

)n-1+1
∴

1

t

-1＞0，又t＞0，则0＜t＜1（14分）