题目

题型：重庆模拟难度：来源：

在数列{a_n}中，已知a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^•．
（1）设b_n=a_n-n，求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

答案

（1）∵

bn+1

bn

=

an+1-(n+1)

an-n

=

4an-3n+1-(n+1)

an-n

=

4(an-n)

an-n

=4，（5分）
且b₁=a₁-1=1∴b_n为以1为首项，以4为公比的等比数列，（7分）
（2）由（1）得b_n=b₁q^n-1=4^n-1（8分）∵a_n=b_n+n=4^n-1+n，（9分）
∴

Sn=(40+41+42++4n-1)+(1+2+3++n)

=

1-4n 1-4 + n(n+1) 2 = 4n-1 3 + n(n+1) 2

，（12分）